Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares.
demostrar que las rectas son paralelas
Las ecuaciones ordinarias de las rectas coincidentes son idénticas, pero sus ecuaciones generales pueden ser distintas. En este caso, los coeficientes de las ecuaciones generales son diferentes pero proporcionales.
En esta página estudiamos los conceptos de rectas paralelas y de rectas perpendiculares (nivel de secundaria). Para poder comprender y resolver los problemas, el alumno necesitará tener las siguientes destrezas:
Si \(a\) y \(b\) son dos rectas paralelas, nunca se cortan. Si se traza una recta perpendicular a las dos rectas paralelas, \(c\), la distancia entre las paralelas es la distancia que hay entre los puntos en los que \(c\) corta a las paralelas.
La propiedad de paralelismo de las rectas es una propiedad transitiva? Es decir, si las rectas \(r\) y \(s\) son paralelas y las rectas \(r\) y \(t\) son paralelas, entonces las rectas \(s\) y \(t\) son también paralelas?
Si la pendiente de \(r\) es \(m\), entonces la pendiente de \(s\) y de \(t\) es \(-1/m\). Por tanto, las rectas \(s\) y \(t\) tienen la misma pendiente, con lo que son paralelas entre ellas, pero no perpendiculares.
\[\rm\alpha = arcos\left( \frac\lVert\overrightarrow v_1\rVert \ \;\lVert\overrightarrow v_2\rVert \ \right)\;\;,\;\;\;0 \le \alpha \le \frac\pi 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;á ngulo\;entre\;dos\;rectas\]
1. En un trapecio ABCD se trazan por los extremos de la base menor CD las paralelas CF y DE a los lados no paralelos (F y E sobre la base mayor); dichas paralelas encuentran a las diagonales BD y AC en los puntos M y N. Por F y E se trazan las paralelas a las diagonales AC y BD que encuentran a BC y AD en P y Q. Demostrar que los puntos M, N, P, Q están sobre una paralela a la base AB.
3. Sobre el lado AB de un triángulo ABC se toman dos puntos D y E y por ellos se trazan dos rectas paralelas que cortan el lado AC en F y G respectivamente; se trazan FE y por el punto G una paralela a FE que corta a AB en H. Demostrar que AE2=AD.AH.
El Teorema de los ángulos alternos interiores establece que, cuando dos rectas paralelas se cortan por una transversal , los ángulos alternos interiores resultantes son congruentes .
Demostrar que las rectas DE y FG son paralelas (o son la misma recta).Solución:Se trata de un problema realmente difícil, para mi gusto. La construcción no es muy complicada, pero el resultado no es inmediato.
El postulado de las paralelas o quinto postulado de Euclides es el postulado número cinco del libro Los Elementos (300 a. C.), elaborado por el matemático griego Euclides. La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluyendo entre éstos el quinto postulado, que es por su importancia, su proposición distintiva. Una geometría en la que el quinto postulado no se satisface, recibe el nombre de geometría no euclidiana. La geometría que es independiente del quinto postulado (i.e. asume los primeros cuatro) es conocida como geometría absoluta.
Postúlese... Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Durante más de dos milenios, numerosos geómetras pensaron que esta propiedad debería poder deducirse lógicamente de las otras cuatro, y se dieron a la tarea de tratar de demostrar el axioma de Euclides.
En el siglo XIX se da conclusión al problema de la independencia del V postulado. Lo hacen de manera independiente Bolyai y Lobachevsky, aunque Gauss ya había resuelto el problema con anterioridad (no había publicado sus resultados, y la paternidad del descubrimiento fue para los otros dos geómetras). La idea es muy simple: en las matemáticas no está permitido llegar a una contradicción, es decir, obtener un resultado que sea exactamente la negación de otro resultado. No puede obtenerse que partiendo de las mismas hipótesis sea cierto, a la vez, que (por ejemplo) dos rectas se corten y que esas dos mismas rectas no se corten. Se llegaría a la conclusión de que (de no haber cometido errores de razonamiento, claro) alguna de las hipótesis ha de ser necesariamente falsa.
La idea que dio solución al problema es la siguiente: si el V postulado depende de los otros cuatro, ya no nos haría falta incluirlo entre nuestras hipótesis (postulados). Así que en el desarrollo de la teoría, tarde o temprano, aparecerá en forma de teorema. Ahora bien, si eliminamos dicho postulado y le añadimos su negación, de ser cierto que el postulado V depende de los otros, llegaremos a demostrarlo, y con ello tendremos que tanto una proposición (el V postulado) como su contraria (la negación del V postulado que ahora lo sustituye) son ciertas. Habremos pues llegado a una contradicción, algo que no es admisible. Alguna de las hipótesis tiene que ser falsa, y esta ha de ser la nueva que se ha introducido, pues es la única que choca contra nuestra intuición (las demás sabemos que son ciertas porque ya lo eran en la geometría de Euclides).
En contra de lo que pudiera pensarse, con este método no se llegó a contradicción alguna. Es más, se llegó a demostrar que las geometrías así obtenidas por Bolyai y Lobachevsky eran consistentes (lo que quiere decir que no contenían contradicción lógica ninguna). Además hay diferentes formas de negar el V postulado (por un punto exterior a una recta no pasa una única recta paralela a la misma) y así diferentes geometrías no euclidianas: por ejemplo, si decimos que no pasa ninguna recta, se obtiene la geometría esférica, que ya hemos presentado, y si decimos que pasan infinitas, se obtiene la geometría hiperbólica, la de Lobachevsky.
Asimismo, cabe mencionar que no se forman ángulos entre las rectas coincidentes, como es el caso de las rectas perpendiculares, que forman cuatro ángulos de 90º, y de las rectas oblicuas, que forman dos ángulos agudos (de menos de 90º) y dos ángulos obtusos (de más de 90º).
Para explicar cómo determinar si dos o más rectas son coincidentes, primero debemos recordar que, desde la geometría analítica, se puede expresar una recta como una ecuación de primer orden como la siguiente:
Usen una hoja de papel de calcar para trazar las rectas a y b y el punto K . Luego, usen papel de calcar para dibujar las imágenes de las rectas al realizar estas tres transformaciones distintas de la lista.
Roten las rectas a y b en sentido contrario a las manecillas del reloj 180 grados usando K como centro de rotación.
Cuando se rotan dos rectas paralelas, algunas veces las dos rectas originales intersecan sus imágenes y forman un cuadrilátero. Qué es lo más específico que puedes decir de este cuadrilátero?, puede ser un cuadrado?, un rombo?, un rectángulo que no es un cuadrado? Explica tu razonamiento.
Estos hechos nos permiten sacar una conclusión importante. Si dos rectas se intersecan en un punto, que llamaremos O , entonces una rotación de 180^\circ de las rectas con centro O muestra que los ángulos opuestos son congruentes. Este es un ejemplo:
Un círculo es una figura plana, delimitada por una línea continua, llamada circunferencia o periferia; y tiene un cierto punto dentro de él, desde el cual todas las líneas rectas dibujadas a su circunferencia son iguales.
Una figura cuadrilátera es aquella que está limitada por cuatro lados. Las líneas rectas Blue line y Red line que conectan los vértices de los ángulos opuestos de una figura cuadrilátera, son denominadas sus diagonales.
Si dos líneas rectas ( Red and blue lines ) se encuentran con una tercera línea recta (Black line) para hacer que los dos ángulos interiores ( Yellow angle y Red angle ) en el mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, estas dos líneas rectas se encontrarán si se prolongan en el lado en el que los ángulos son menos de dos ángulos rectos.
Los ángulos pueden considerarse propiamente como una cuarta especie de magnitud. La magnitud angular evidentemente consiste en partes y, por lo tanto, debe admitirse que es una especie de cantidad. El alumno no debe suponer que la magnitud de un ángulo se ve afectada por la longitud de las líneas rectas que lo incluyen y de cuya divergencia mutua es la medida. El vértice de un ángulo es el punto donde los lados o las patas del ángulo se encuentran, como A.
Deja que los dos triángulos sean concebidos para ser colocados, que el vértice de uno de los ángulos iguales, Left yellow angle o Right yellow angle ; caerá sobre él del otro, y Red line coincida con Red line, entonces Blue line coincidirá con Blue line, si aplica; consecuentemente Black line coincidirá con Black line, o dos líneas rectas encerrarán un espacio, lo cual es imposible (ax. 10), por lo tanto Black line = Black line, Left blue angle = Right blue angle y Left red angle = Right red angle , y como los triángulos Left triangle y Right triangle coinciden, cuando aplican, son iguales en todos los aspectos.
Una recta transversal, es aquella que intersecta a dos o más rectas. Cuando intersecta rectas perpendiculares, entonces se crean varios ángulos congruentes. Veámoslo. Las rectas k y j son paralelas. La recta l es transversal.
En este apartado se explica el teorema de Thales y su demostración formal. Cabe mencionar que a las afirmaciones del teorema se le llama hipótesis , lo que se quiere demostrar se llama tesis y la cadena de razonamientos lógicos sustentados por definiciones, postulados, axiomas y teoremas ya demostrados, se le llama demostración. 2ff7e9595c
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